Обо мне
Обо мне
Обо мне
7.
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения и наоборот
Данная формула получена из формул синуса сложения и разности аргументов:
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.
Сложим две формулы:
sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α =2 sin α cos β.
Таким образом,
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.
К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.
Теперь введем новые переменные:
вместо α + β напишем х,
вместо α – β напишем у.
Тогда:
sin х + sin у = 2 sin α cos β.
В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:
Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:
Следующая формула логически вытекает из первой и доказывается просто.
Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y.
Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:
Таким образом,
Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.
Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:
Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Рассмотрим обратное преобразование, т.е. тригонометрические функции, заданные в виде произведения, преобразуем в сумму или разность. Для вывода этих формул воспользуемся формулами сложения:
Далее сложим формулы (1) и (2).
